Soit \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_{n-1}X^{n-1} - X^n \in K_n[X]\). La matrice compagnon de \(P\) est \(M = \begin{pmatrix} 0 &\span (0) &a_0 \cr 1 &\ddots & &a_1 \cr &\ddots &0 &\vdots \cr (0)& &1 &a_{n-1} \cr \end{pmatrix}\).
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\), \({\cal B} = ({\vec e}_1,\dots,{\vec e}_n)\) une base de \(E\) et \(\varphi\) l’endomorphisme de \(E\) de matrice \(M\) dans \(\cal B\).
1
Déterminer le polynôme caractéristique de \(M\).
2
Calculer \(\varphi^k({\vec e}_1)\) pour \(0 \le k \le n\).
3
En déduire que \(P(M) = 0\).