1
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^5\), impaire, telle que \(f'(0) = 0\) et : \(\forall\ x\in\R,\ |f^{(5)}(x)| \le M\).
Montrer qu’il existe une constante \(\lambda\) telle que : \(\forall\ x \in \R,\ \left|f(x)-\frac x3f'(x)\right| \le \lambda M|x^5|\).
2
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^5\) telle que : \[f'(a) = f'(b) = f'\left(\frac {a+b}2\right) = 0, \qquad \text{et}\quad \forall\ x\in{[a,b]},\ |f^{(5)}(x)| \le M.\] Montrer que \(\bigl|f(b)-f(a)\bigr| \le \frac {M(b-a)^5}{2880}\).