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En appliquant une formule de Taylor reliant $f(x)$ et $f(x+h)$, montrer que, pour tout $x>a$ et tout $h>0$, on a : $\displaystyle \vert f'(x)\vert \leq \frac{h}{2}M_2+\frac{2}{h}M_0$.

En déduire que $f'$ est bornée sur $]a,+\infty[$.

Établir le résultat suivant : soit $g : ]0,+\infty[ \rightarrow \Rr$ une application de classe $C^2$ à dérivée seconde bornée et telle que $\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }g(x)=0$. Alors $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }g'(x)=0$.