Soit \(a\) un nombre réel et \(f : ] a , +\infty [ \rightarrow \Rr\) une application de classe \(C^2\). On suppose \(f\) et \(f''\) bornées ; on pose \(\displaystyle M_0=\sup _{x>a}\vert f(x)\vert\) et \(\displaystyle M_2=\sup_{x> a}\vert f''(x)\vert\).
En appliquant une formule de Taylor reliant \(f(x)\) et \(f(x+h)\), montrer que, pour tout \(x>a\) et tout \(h>0\), on a : \(\displaystyle \vert f'(x)\vert \leq \frac{h}{2}M_2+\frac{2}{h}M_0\).
En déduire que \(f'\) est bornée sur \(]a,+\infty[\).
Établir le résultat suivant : soit \(g : ]0,+\infty[ \rightarrow \Rr\) une application de classe \(C^2\) à dérivée seconde bornée et telle que \(\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }g(x)=0\). Alors \(\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }g'(x)=0\).