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Trouver le pgcd de $X^{24}-1$ et $X^{15}-1$ ; le pgcd de $X^{280}-1$ et $X^{60}-1$.

Montrer que quels que soient les entiers positifs $b$ et $q$, $X^{b}-1$ divise $X^{bq}-1$. En déduire que le reste de la division de $X^{a}-1$ par $X^{b}-1$ est $X^{r}-1$ où $r$ est le reste de la division dans $\mathbb{N}$ de $a$ par $b$. Quel est alors le pgcd de $X^{a}-1$ et $X^{b}-1$ ? Application : trouver le pgcd de $X^{5400}-1$ et $X^{1920}-1$.

$P$ étant un polynôme quelconque de $\mathbb{C}[X]$, et $a$ et $b$ deux entiers naturels, quel est le pgcd de $P^a-1$ et $P^b-1$ ? Indication : utiliser le théorème de Bézout dans $\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{C}[X]$.