1
Trouver le pgcd de \(X^{24}-1\) et \(X^{15}-1\) ; le pgcd de \(X^{280}-1\) et \(X^{60}-1\).
2
Montrer que quels que soient les entiers positifs \(b\) et \(q\), \(X^{b}-1\) divise \(X^{bq}-1\). En déduire que le reste de la division de \(X^{a}-1\) par \(X^{b}-1\) est \(X^{r}-1\) où \(r\) est le reste de la division dans \(\mathbb{N}\) de \(a\) par \(b\). Quel est alors le pgcd de \(X^{a}-1\) et \(X^{b}-1\) ? Application : trouver le pgcd de \(X^{5400}-1\) et \(X^{1920}-1\).
3
\(P\) étant un polynôme quelconque de \(\mathbb{C}[X]\), et \(a\) et \(b\) deux entiers naturels, quel est le pgcd de \(P^a-1\) et \(P^b-1\) ? Indication : utiliser le théorème de Bézout dans \(\mathbb{Z}\) et dans \(\mathbb{C}[X]\).