L’application $\begin{array}{cccc} \gamma :& [0,2\pi[ &\longrightarrow & \Cc\\ & \theta &\longmapsto& e^{i\theta} \end{array}$ est un paramétrage du cercle unité du plan complexe euclidien parcouru dans le sens trigonométrique. Comme le rayon de convergent de la série qui définit $\cosh$ est infini, la série de fonctions $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n-1}}{(2n)!}$ est normalement donc uniformément convergente sur le cercle unité vers la fonction $\frac{\cosh z}{z}$ . Par conséquent, $\begin{aligned} \int_{\partial\Delta} \frac{\cosh z}{z} dz&=&\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\partial\Delta}\frac{z^{2n-1}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{2\pi}\frac{(\gamma(\theta))^{2n-1}}{(2n)!}\gamma'(\theta)d\theta\\ &=&\sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{2\pi} i e^{i(2n)\theta} d\theta=2i\pi. \end{aligned}$ Comme l’intégrale de la fonction $\frac{\cosh(z)}{z}$ sur le chemin fermé $\partial\Delta$ de $\Cc^\times$ n’est pas nulle, la fonction $\frac{\cosh(z)}{z}$ n’admet pas de primitive sur $\Cc^\times$ .

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