Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par \[\left \{\begin{array}{l} \displaystyle f(x,y) = \frac{|x|^\alpha y}{x^2+y^4} \quad \mbox{si }(x,y)\neq (0,0)\\ f(0,0)=0 \end{array}\right.\]
1
Montrer que \[\displaystyle \forall (x,y)\neq (0,0)\quad \left|f(x,y)\right|\leq \left(x^2+y^4\right)^{\frac{2\alpha -3}4}.\]
2
Calculer \(\displaystyle \lim_{ \begin{array}{c}y\to 0\\y\neq 0\end{array}} \left|f(y^2,y)\right|\).
3
Étudier la continuité de \(f\) en (0,0).