Soit \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) un point de \((\mathcal{S})\) (c’est-à-dire tel que \(x_0^2+x_0y_0+z_0-1 = 0\)). \((\mathcal{S})\) est une surface du second degré. Une équation du plan tangent à \((\mathcal{S})\) en \(M_0\) est fournie par la règle de dédoublement des termes :

\(xx_0+\frac{1}{2}(y_0x+x_0y)+ \frac{1}{2}(z+z_0)-1 = 0\).

Ce plan tangent contient le point \(S(0,0,0)\) si et seulement si \(z_0 = 2\) ce qui montre déjà que la courbe de contact admet pour système d’équations \(\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+z-1=0\\ z=2 \end{array} \right.\) ou encore\(\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+1=0\\ z=2 \end{array} \right.\). C’est une hyperbole du plan d’équation \(z = 2\).

Le cône de sommet \(S\) circonscrit à \((\mathcal{S})\) est alors le cône de sommet \(S\) et de directrice \((\mathcal{C})\) d’équations \(\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+1=0\\ z=2 \end{array} \right.\). On trouve la surface d’équation \(4x^2+4xy+z^2 = 0\). C’est un cône du second degré.

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