Soit $M_0(x_0,y_0,z_0)$ un point de $(\mathcal{S})$ (c’est-à-dire tel que $x_0^2+x_0y_0+z_0-1 = 0$ ). $(\mathcal{S})$ est une surface du second degré. Une équation du plan tangent à $(\mathcal{S})$ en $M_0$ est fournie par la règle de dédoublement des termes :

$xx_0+\frac{1}{2}(y_0x+x_0y)+ \frac{1}{2}(z+z_0)-1 = 0$ .

Ce plan tangent contient le point $S(0,0,0)$ si et seulement si $z_0 = 2$ ce qui montre déjà que la courbe de contact admet pour système d’équations $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+z-1=0\\ z=2 \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+1=0\\ z=2 \end{array} \right.$ . C’est une hyperbole du plan d’équation $z = 2$ .

Le cône de sommet $S$ circonscrit à $(\mathcal{S})$ est alors le cône de sommet $S$ et de directrice $(\mathcal{C})$ d’équations $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+1=0\\ z=2 \end{array} \right.$ . On trouve la surface d’équation $4x^2+4xy+z^2 = 0$ . C’est un cône du second degré.

exo7 5830