Soit \(\mathcal{P}_n\) un polygone régulier à \(n\) côtés dans le plan euclidien orienté. On appelle groupe diédral \(D_{n}\) le groupe des isométries de \(\mathcal{P}_n\).
Parmi les translations, les rotations, les symétries orthogonales, et les symétries glissées, décrire des isométries du plan qui conservent le polygone régulier \(\mathcal{P}_n\).
Déterminer, à l’aide de l’action naturelle de \(D_{n}\) sur l’ensemble des sommets de \(\mathcal{P}_n\), le cardinal de \(D_{n}\). En déduire la liste complète des éléments de \(D_{n}\).
On suppose \(n\) impair. Déterminer les \(2\)-Sylow de \(D_{n}\) et vérifier (sans référence au cours) qu’ils sont conjugués.
On suppose \(n=6\). Déterminer un \(2\)-Sylow de \(D_{6}\). Ce \(2\)-Sylow est-il distingué ? Déterminer deux sous-groupes d’ordre \(2\) de \(D_6\) non conjugués dans \(D_6\). Donner un \(3\)-Sylow de \(D_{6}\).