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Parmi les translations, les rotations, les symétries orthogonales, et les symétries glissées, décrire des isométries du plan qui conservent le polygone régulier $\mathcal{P}_n$.

Déterminer, à l’aide de l’action naturelle de $D_{n}$ sur l’ensemble des sommets de $\mathcal{P}_n$, le cardinal de $D_{n}$. En déduire la liste complète des éléments de $D_{n}$.

On suppose $n$ impair. Déterminer les $2$-Sylow de $D_{n}$ et vérifier (sans référence au cours) qu’ils sont conjugués.

On suppose $n=6$. Déterminer un $2$-Sylow de $D_{6}$. Ce $2$-Sylow est-il distingué ? Déterminer deux sous-groupes d’ordre $2$ de $D_6$ non conjugués dans $D_6$. Donner un $3$-Sylow de $D_{6}$.