Soit \(X\) un espace topologique séparé et soit \(\infty\) un point qui n’appartient pas à \(X\). On pose \(X_\infty = X \cup \{\infty\}\) et on définit \(\mathcal{T}_\infty \subset \mathcal{P}(X_\infty)\) par : \(A\in \mathcal{T}_\infty\) si et seulement si \[\begin{align*} \infty \notin A &\Rightarrow \text{ $A$ est un ouvert de $X$~;} \\ \infty\in A &\Rightarrow \text{ $X\setminus A$ est un compact de $X$.} \end{align*}\]
1
Démontrer que si \(A\) appartient à \(\mathcal{T}_\infty\), alors \(A \cap X\) est un ouvert de \(X\).
2
Démontrer que \(\mathcal{T}_\infty\) est une topologie sur \(X_\infty\).
3
Démontrer que \(X\) est dense dans \(X_\infty\).
4
Démontrer que \(X_\infty\) est compact.