exo7 1561

Soit $(E , \langle , \rangle )$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L} (E) .$ Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) $u^*=u^{-1} .$ ii) $\forall x \in E , \Vert u(x)\Vert=\Vert x\Vert .$ iii) $\forall x ,y \in E , \langle u(x), u(y)\rangle =\langle x,y\rangle .$ iv) L’image par $u$ d’une base orthonormée de $E$ est une base orthonormée de $E .$ v) L’image par $u$ de toute base orthonormée de $E$ est une base orthonormée de $E .$