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Montrer que $$C_n^k={1\over 2i\pi}\int_{c_r}(1+z)^n{dz\over z^{k+1}}.$$ En déduire que $C_{2n}^n\le 4^n$.

Montrer que $$C_{2n}^n={1\over 2i\pi}\int_{c_r}\left( {1\over z} +2+z\right) ^n{dz\over z}$$ (on pourra utiliser 1.). En déduire que $$\sum_{n=0}^{+\infty}C_{2n}^n{1\over 5^n}={1\over 2i\pi}\int_{c_r}{dz\over 3z-1-z^2)}=\sqrt 5 ,$$ à condition que $r_1<r<r_2$, où $r_1<r_2$ sont les deux racines de $3z-1-z^2=0$.

Montrer que $${1\over 2i\pi}\int_{c_r}(1+z)^n\left( 1+{1\over z}\right)^n{dz\over z}=\sum_{k=0}^n\left( C_n^k\right) ^2.$$ En déduire que $$\sum_{k=0}^n\left( C_n^k\right) ^2=C_{2n}^n.$$

Montrer que $${1\over 2i\pi}\int_{c_1}{(z-1)^{2n}(z+1)^n\over z^{2n+1}}dz= \sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kC_{2n}^k.$$ Montrer que si $z\in c_1^*$, $\vert z-1\vert ^2\vert z+1\vert \le {16\over 9}\sqrt 3$. En déduire que $$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kC_{2n}^k\le \left( {16\over 9}\sqrt 3\right) ^n.$$