Pour \(n\ge 1\) et \(0\le k\le n\), on désigne par \(C_n^k\) le coefficient binomial. Pour \(r>0\), soit \(c_r\colon t\mapsto re^{it}\), \(t\in [0,2\pi]\).
Montrer que \[C_n^k={1\over 2i\pi}\int_{c_r}(1+z)^n{dz\over z^{k+1}}.\] En déduire que \(C_{2n}^n\le 4^n\).
Montrer que \[C_{2n}^n={1\over 2i\pi}\int_{c_r}\left( {1\over z} +2+z\right) ^n{dz\over z}\] (on pourra utiliser 1.). En déduire que \[\sum_{n=0}^{+\infty}C_{2n}^n{1\over 5^n}={1\over 2i\pi}\int_{c_r}{dz\over 3z-1-z^2)}=\sqrt 5 ,\] à condition que \(r_1<r<r_2\), où \(r_1<r_2\) sont les deux racines de \(3z-1-z^2=0\).
Montrer que \[{1\over 2i\pi}\int_{c_r}(1+z)^n\left( 1+{1\over z}\right)^n{dz\over z}=\sum_{k=0}^n\left( C_n^k\right) ^2.\] En déduire que \[\sum_{k=0}^n\left( C_n^k\right) ^2=C_{2n}^n.\]
Montrer que \[{1\over 2i\pi}\int_{c_1}{(z-1)^{2n}(z+1)^n\over z^{2n+1}}dz= \sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kC_{2n}^k.\] Montrer que si \(z\in c_1^*\), \(\vert z-1\vert ^2\vert z+1\vert \le {16\over 9}\sqrt 3\). En déduire que \[\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kC_{2n}^k\le \left( {16\over 9}\sqrt 3\right) ^n.\]