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Pour quelles valeurs de $z$ $I(z)$ est-elle définie ?

Montrer que pour $\Re z>0$, on a $$I(z)={1\over z}\left( {\pi\over 2}\mathrm{Log} z+ \int_0^{+\infty}{\ln t\over 1+t^2}dt\right) ,$$ où $\mathrm{Log}$ est la détermination principale du logarithme. On pourra considérer le chemin fermé $\Gamma_{\varepsilon, R}=[\varepsilon, R]+\gamma_R+[Re^{i\varphi},\varepsilon e^{i\varphi}]-\gamma_{\varepsilon}$, où $\varphi=\mathrm{Arg} z$ et $\gamma_r\colon t\mapsto re^{it}$, $t\in [0,\varphi]$.

Qu’obtient-on pour $\Re z<0$ ?