Soit \(I(z)=\int_0^{+\infty}{\ln t\over t^2+z^2}dt\).
1
Pour quelles valeurs de \(z\) \(I(z)\) est-elle définie ?
2
Montrer que pour \(\Re z>0\), on a \[I(z)={1\over z}\left( {\pi\over 2}\mathrm{Log} z+ \int_0^{+\infty}{\ln t\over 1+t^2}dt\right) ,\] où \(\mathrm{Log}\) est la détermination principale du logarithme. On pourra considérer le chemin fermé \(\Gamma_{\varepsilon, R}=[\varepsilon, R]+\gamma_R+[Re^{i\varphi},\varepsilon e^{i\varphi}]-\gamma_{\varepsilon}\), où \(\varphi=\mathrm{Arg} z\) et \(\gamma_r\colon t\mapsto re^{it}\), \(t\in [0,\varphi]\).
3
Qu’obtient-on pour \(\Re z<0\) ?