Cet exercice a pour but de donner une introduction à la géométrie du disque. Cela donnera aussi une interprétation géométrique du lemme de Schwarz. On note \(\mathbb{D}\) le disque unité. Étant donné un vecteur tangent \(\xi\) en un point \(z\in \mathbb{D}\), on note sa norme euclidienne par \(\|\xi\|_{2}\) et on défini sa norme hyperbolique ou sa norme de Poincaré par \[\|\xi\|_{\rm hyp}:=\frac{\|\xi\|_2}{1-|z|^2}.\] La longueur hyperbolique d’un chemin \(\gamma:[a,b]\to\mathbb D\) est définie par \[\ell_{\rm hyp}(\gamma)=\int_{a}^b\|\gamma'(t)\|_{\rm hyp}dt=\int_a^b\frac{\|\gamma'(t)\|_2}{1-|\gamma(t)|^2}dt.\] La distance hyperbolique ou distance de Poincaré entre deux points \(z_0,z_1\in \mathbb D\) est définie par \[d_{\rm hyp}(z_0,z_1):=\inf_{\gamma}\ell_{\rm hyp}(\gamma)\] où le \(\inf\) est pris sur tous les chemins \(\mathcal{C}^1\) par morceaux de \(\mathbb D\) allant de \(z_0\) à \(z_1\). L’espace métrique \((\mathbb D,d_{\rm hyp})\) est appelé disque de Poincaré. Les courbes de longueur minimale sont appelées géodésiques ou droites hyperboliques.
À l’aide du lemme de Schwarz-Pick, montrer que toute application holomorphe \(f:\mathbb D\to \mathbb D\) est décroissante par rapport à la distance de Poincaré, c’est à dire que pour tout \(z_0,z_1\in \mathbb D\), \[d_{\rm hyp}(f(z_1),f(z_1))\leqslant d_{\rm hyp}(z_0,z_1).\]
En déduire que pour tout automorphisme du disque \(f\in \rm{Aut}(\mathbb D)\) est une isométrie de \((\mathbb D,d_{\rm hyp})\).