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Cet exercice a pour but de donner une introduction à la géométrie du disque. Cela donnera aussi une interprétation géométrique du lemme de Schwarz. On note $\mathbb{D}$ le disque unité. Étant donné un vecteur tangent $\xi$ en un point $z\in \mathbb{D}$, on note sa norme euclidienne par $\|\xi\|_{2}$ et on défini sa norme hyperbolique ou sa norme de Poincaré par $$\|\xi\|_{\rm hyp}:=\frac{\|\xi\|_2}{1-|z|^2}.$$ La longueur hyperbolique d’un chemin $\gamma:[a,b]\to\mathbb D$ est définie par $$\ell_{\rm hyp}(\gamma)=\int_{a}^b\|\gamma'(t)\|_{\rm hyp}dt=\int_a^b\frac{\|\gamma'(t)\|_2}{1-|\gamma(t)|^2}dt.$$ La distance hyperbolique ou distance de Poincaré entre deux points $z_0,z_1\in \mathbb D$ est définie par $$d_{\rm hyp}(z_0,z_1):=\inf_{\gamma}\ell_{\rm hyp}(\gamma)$$ où le $\inf$ est pris sur tous les chemins $\mathcal{C}^1$ par morceaux de $\mathbb D$ allant de $z_0$ à $z_1$. L’espace métrique $(\mathbb D,d_{\rm hyp})$ est appelé disque de Poincaré. Les courbes de longueur minimale sont appelées géodésiques ou droites hyperboliques.