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Montrer que l’application $\begin{smallmatrix} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&\rightarrow &\mathbb{K} \\ A &\mapsto &\mathrm{tr}(A) \end{smallmatrix}$ est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$.

Montrer que : $\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2},\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. En déduire que deux matrices semblables ont même trace.

Existe-t-il deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telles que $AB-BA=I$ ?