On appelle trace d’une matrice \(A\), et on note \(\mathrm{tr}(A)\), la somme de ses coefficients diagonaux.
1
Montrer que l’application \(\begin{smallmatrix} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&\rightarrow &\mathbb{K} \\ A &\mapsto &\mathrm{tr}(A) \end{smallmatrix}\) est une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\).
2
Montrer que : \(\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2},\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\). En déduire que deux matrices semblables ont même trace.
3
Existe-t-il deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) telles que \(AB-BA=I\) ?