On considère la série entière \[L(z)=\sum_{n\ge 1}{z^n\over n^2}\] Soit \(f(z)={-\mathrm{Log}{(1-z)}\over z}\) où \(\mathrm{Log}\) désigne la détermination principale du logarithme complexe.
1
On note \(U={\Cc}\setminus [1,+\infty\mathclose[\). Montrer que \(f\) est définie dans \(U\).
2
Vérifier que si \(D=\{ z\in {\Cc}\vert\ \vert z\vert<1\}\), on a \(L'(z)=f(z)\).
3
En déduire qu’il existe une primitive de \(f\), définie dans \(U\) tout entier, dont la restriction à \(D\) est égale à \(L\). On note cette primitive \(L\) par abus de langage.
4
Soit \(x\in {\Rr}\), \(x>1\). Calculer \(\lim_{y\to 0}L(x+iy)-L(x-iy)\) comme fonction de \(x\).