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On veut exprimer le Laplacien avec les coordonnées polaires $r$ et $\theta$: autrement dit pour toute fonction deux fois différentiable $\Phi$ on veut calculer la fonction $\Delta(\Phi)$ à l’aide des opérateurs de dérivées partielles $\frac\partial{\partial r}$ et $\frac\partial{\partial \theta}$, lorsque l’on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l’origine) dans lequel une détermination continue de l’argument $\theta$ est possible (par exemple sur $\Omega = \Cc\setminus]-\infty,0]$). Une méthode possible est d’utiliser les expressions obtenues dans l’exercice [exo:CRpolaires] : $$\frac\partial{\partial x} = \cos(\theta)\frac\partial{\partial r} - \sin(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\qquad \frac\partial{\partial y} = \sin(\theta)\frac\partial{\partial r} + \cos(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\;,$$ et de calculer ensuite $(\frac\partial{\partial x})^2$ et $(\frac\partial{\partial y})^2$ puis de faire la somme. Mais cela donne des calculs un peu longs. Voici une ruse: en reprenant une formule déjà établie dans l’exercice [exo:CRpolaires] montrer $$(x-iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right) = r\frac\partial{\partial r} + i\frac\partial{\partial \theta}$$ $$(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right) = r\frac\partial{\partial r} - i\frac\partial{\partial \theta}$$ On remarquera maintenant que l’opérateur différentiel $\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}$ appliqué à la fonction $x+iy$ donne zéro. Donc (expliquer!): $$(x-iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right)(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right) = (x-iy)(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right)$$ Prouver alors en conclusion: $$\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} = \frac{1}{r^2}\left( (r\frac\partial{\partial r})^2 + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right)\Phi = \frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2} + \frac1r \frac{\partial\Phi}{\partial r} + \frac1{r^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial \theta^2}.$$