On veut exprimer le Laplacien avec les coordonnées polaires \(r\) et \(\theta\): autrement dit pour toute fonction deux fois différentiable \(\Phi\) on veut calculer la fonction \(\Delta(\Phi)\) à l’aide des opérateurs de dérivées partielles \(\frac\partial{\partial r}\) et \(\frac\partial{\partial \theta}\), lorsque l’on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l’origine) dans lequel une détermination continue de l’argument \(\theta\) est possible (par exemple sur \(\Omega = \Cc\setminus]-\infty,0]\)). Une méthode possible est d’utiliser les expressions obtenues dans l’exercice [exo:CRpolaires] : \[\frac\partial{\partial x} = \cos(\theta)\frac\partial{\partial r} - \sin(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\qquad \frac\partial{\partial y} = \sin(\theta)\frac\partial{\partial r} + \cos(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\;,\] et de calculer ensuite \((\frac\partial{\partial x})^2\) et \((\frac\partial{\partial y})^2\) puis de faire la somme. Mais cela donne des calculs un peu longs. Voici une ruse: en reprenant une formule déjà établie dans l’exercice [exo:CRpolaires] montrer \[(x-iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right) = r\frac\partial{\partial r} + i\frac\partial{\partial \theta}\] \[(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right) = r\frac\partial{\partial r} - i\frac\partial{\partial \theta}\] On remarquera maintenant que l’opérateur différentiel \(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\) appliqué à la fonction \(x+iy\) donne zéro. Donc (expliquer!): \[(x-iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right)(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right) = (x-iy)(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right)\] Prouver alors en conclusion: \[\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} = \frac{1}{r^2}\left( (r\frac\partial{\partial r})^2 + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right)\Phi = \frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2} + \frac1r \frac{\partial\Phi}{\partial r} + \frac1{r^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial \theta^2}.\]
exo7 2809
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