L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

Dérivées partielles

Soit la fonction V ⁣:R2→RV \colon \R^2 \to \R définie par V(r,θ)=cos⁡θr2V(r,\theta) = \dfrac{\cos \theta}{r^2}

1

Donner l’ensemble de définition de VV.

2

Calculer les dérivées partielles ∂V∂r\dpa{V}{r} et ∂V∂θ\dpa{V}{\theta}.

3

Calculer les dérivées partielles secondes ∂2V∂r2\dpsp{V}{r}, ∂V∂θ\dpa{V}{\theta} et ∂2V∂r ∂θ\dpsm{V}{r}{\theta}.

4

En déduire que sin⁡θ ∂∂r[r2∂V∂r]+∂∂θ[sin⁡θ∂V∂θ]=0.\sin \theta \ \dpa{}{r} \left[ r^2 \dpa{V}{r} \right] + \dpa{}{\theta} \left[ \sin \theta \dpa{V}{\theta} \right] = 0.

Exercice DMpD

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