Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par \[\begin{aligned} f(x,y)&=&\frac{x^2y}{x-y},\quad \mathrm{si}\ x\not=y\\ &=& x,\quad \mathrm{si}\ x=y.\end{aligned}\]
Calculer les dérivées partielles \(\frac{\partial f}{\partial x}(1,-2)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,-2)\).
Pour tout \(v=(\cos \theta, \sin \theta)\), calculer \(D_vf(1,-2)\). Pour quelles valeurs de \(\theta\in [0,2\pi[\), \(D_vf(1,-2)=0\) ?
Étudier la continuité de \(f\) au point \((1,1)\in\R^2\).
Étudier la continuité de \(f\) au point \((0,0)\in\R^2\).
Montrer que les dérivées partielles \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) existent et les déterminer.
Montrer que la dérivée directionnelle \(D_vf(0,0)\) existe pour \(v=(1,1)\), et la déterminer. On constatera que l’égalité \(D_vf(0,0)=\partial_xf(0,0) + \partial_yf(0,0)\) n’est pas satisfaite. Expliquer pourquoi cela ne contredit aucun théorème du cours.