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Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(1,-2)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(1,-2)$.

Pour tout $v=(\cos \theta, \sin \theta)$, calculer $D_vf(1,-2)$. Pour quelles valeurs de $\theta\in [0,2\pi[$, $D_vf(1,-2)=0$ ?

Étudier la continuité de $f$ au point $(1,1)\in\R^2$.

Étudier la continuité de $f$ au point $(0,0)\in\R^2$.

Montrer que les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existent et les déterminer.

Montrer que la dérivée directionnelle $D_vf(0,0)$ existe pour $v=(1,1)$, et la déterminer. On constatera que l’égalité $D_vf(0,0)=\partial_xf(0,0) + \partial_yf(0,0)$ n’est pas satisfaite. Expliquer pourquoi cela ne contredit aucun théorème du cours.