Développer les fonctions suivantes en série de Laurent dans chacun des ouverts donnés
\(\displaystyle f(z)={1\over (z-1)(z-2)}\) dans \(\vert z\vert <1\) ; \(1<\vert z\vert <2\) ; \(2<\vert z\vert\) ;
\(\displaystyle f(z)={1\over (z-a)^k}\) (\(k\in {\Nn}^*\)) dans \(\vert z\vert <\vert a\vert\) et dans \(\vert z\vert >\vert a\vert\) ;
\(\displaystyle f(z)={1\over z(z-a)}\) dans \(0<\vert z\vert <\vert a\vert\) et dans \(\vert a\vert <\vert z\vert\) ;
\(\displaystyle f(z)={1\over (z-a)(z-b)}\) (\(0<\vert a\vert <\vert b\vert\)) dans \(0<\vert z\vert <\vert a\vert\) ; \(\vert a\vert<\vert z\vert <\vert b\vert\) ; \(\vert b\vert <\vert z\vert\) ;
une détermination holomorphe \(f\) de \([(z-a)(z-b)]^{1\over 2}\) (\(0<\vert a\vert =\vert b\vert\)) dans \(0<\vert z\vert <\vert a\vert\) ; \(\vert b\vert <\vert z\vert\) ;
\(f(z)=z^2\exp{(z^{-1})}\) dans \(0<\vert z\vert\).
\(f(z)=\exp{(z+z^{-1})}\) dans \(0<\vert z\vert\).
\(f(z)=\sin z\cdot\sin{\left(z^{-1}\right)}\) dans \(0<\vert z\vert\).
\(f(z)=\mathrm{cotan} z\) dans \(k\pi<\vert z\vert<(k+1)\pi\) (\(k\in {\Nn}\)) on pourra exprimer le résultat en fonction des nombres \(B_n\) de Bernoulli, définis par : \[{z\over \exp{(z)}-1}=\sum_{n\ge 0}B_n{z^n\over n!}\] (\(B_0=1\), \(B_1=-1/2\), et \(B_{2n+1}=0\) pour \(n\ge 1\)).