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$\displaystyle f(z)={1\over (z-1)(z-2)}$ dans $\vert z\vert <1$ ; $1<\vert z\vert <2$ ; $2<\vert z\vert$ ;

$\displaystyle f(z)={1\over (z-a)^k}$ ($k\in {\Nn}^*$) dans $\vert z\vert <\vert a\vert$ et dans $\vert z\vert >\vert a\vert$ ;

$\displaystyle f(z)={1\over z(z-a)}$ dans $0<\vert z\vert <\vert a\vert$ et dans $\vert a\vert <\vert z\vert$ ;

$\displaystyle f(z)={1\over (z-a)(z-b)}$ ($0<\vert a\vert <\vert b\vert$) dans $0<\vert z\vert <\vert a\vert$ ; $\vert a\vert<\vert z\vert <\vert b\vert$ ; $\vert b\vert <\vert z\vert$ ;

une détermination holomorphe $f$ de $[(z-a)(z-b)]^{1\over 2}$ ($0<\vert a\vert =\vert b\vert$) dans $0<\vert z\vert <\vert a\vert$ ; $\vert b\vert <\vert z\vert$ ;

$f(z)=z^2\exp{(z^{-1})}$ dans $0<\vert z\vert$.

$f(z)=\exp{(z+z^{-1})}$ dans $0<\vert z\vert$.

$f(z)=\sin z\cdot\sin{\left(z^{-1}\right)}$ dans $0<\vert z\vert$.

$f(z)=\mathrm{cotan} z$ dans $k\pi<\vert z\vert<(k+1)\pi$ ($k\in {\Nn}$) on pourra exprimer le résultat en fonction des nombres $B_n$ de Bernoulli, définis par : $${z\over \exp{(z)}-1}=\sum_{n\ge 0}B_n{z^n\over n!}$$ ($B_0=1$, $B_1=-1/2$, et $B_{2n+1}=0$ pour $n\ge 1$).