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Soit $\alpha\in\Rr$. Montrer que le développement en série de Laurent en $0$ de la fonction $f(z)=\hbox{exp}{\alpha\over2}(z+{1\over z})$ est de la forme $a_0+\sum_{n\geq1}a_n(z^n+{1\over z^n})$, où $$a_0={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\hbox{exp}(\alpha\cos t)\ dt,\quad a_n={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\hbox{exp}(\alpha\cos t)\cos(nt)\ dt \ \hbox{si}\ n\geq1.$$

(Calculer $f$ pour $|z|=1$ et conclure avec le prolongement analytique.)