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Soit \(\alpha\in\Rr\). Montrer que le développement en série de Laurent en \(0\) de la fonction \(f(z)=\hbox{exp}{\alpha\over2}(z+{1\over z})\) est de la forme \(a_0+\sum_{n\geq1}a_n(z^n+{1\over z^n})\), où \[a_0={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\hbox{exp}(\alpha\cos t)\ dt,\quad a_n={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\hbox{exp}(\alpha\cos t)\cos(nt)\ dt \ \hbox{si}\ n\geq1.\]
(Calculer \(f\) pour \(|z|=1\) et conclure avec le prolongement analytique.)