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On note $I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x$, $J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x$, $K_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos nx}{2+\cos x}\,d x$.

Montrer que pour tout $n\in \N$, on a $I_n = J_n + (-1)^nK_n$ et $I_{n+1} = 4I_n - I_{n-1}$. En déduire $I_n$ en fonction de $n$.