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On note \(I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), \(J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), \(K_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos nx}{2+\cos x}\,d x\).
Montrer que pour tout \(n\in \N\), on a \(I_n = J_n + (-1)^nK_n\) et \(I_{n+1} = 4I_n - I_{n-1}\). En déduire \(I_n\) en fonction de \(n\).