Remarquons que comme le système est homogène (c’est-à-dire les coefficients du second membre sont nuls) alors \((0,0,0)\) est une solution du système. Voyons s’il y en a d’autres. Nous faisons semblant de ne pas voir que la seconde ligne implique \(x=y\) et que le système est en fait très simple à résoudre. Nous allons appliquer le pivot de Gauss en faisant les opérations suivantes sur les lignes \(L_2 \leftarrow L_2-L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3-L_1\) : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &-& z &=& 0 \\ x &-& y & & &=& 0 \\ x &+& 4y &+& z &=& 0 \end{array} \right. \iff\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &-& z &=& 0 \\ &-& 2y &+& z &=& 0 \\ & & 3y &+& 2z &=& 0 \end{array} \right.\] On fait maintenant \(L_3 \leftarrow 2L_3+3L_2\) pour obtenir : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &-& z &=& 0 \\ &-& 2y &+& z &=& 0 \\ & & && 7z &=& 0 \end{array} \right.\]

En partant de la dernière ligne on trouve \(z=0\), puis en remontant \(y=0\), puis \(x=0\). Conclusion l’unique solution de ce système est \((0,0,0)\). On applique le pivot de Gauss \(L_2 \leftarrow L_2-L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3-L_1\) : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& 2z &=& 5 \\ x &-& y &-& z &=& 1 \\ x & & &+& z &=& 3 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& 2z &=& 5 \\ &-& 2y &-& 3z &=& -4 \\ &-& y &-& z &=& -2 \end{array} \right.\] Puis \(L_3\leftarrow 2L_3-L_2\) pour obtenir un système équivalent qui est triangulaire donc facile à résoudre : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& 2z &=& 5 \\ &-& 2y &-& 3z &=& -4 \\ && && z &=& 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 3 \\ y &=& 2 \\ z &=& 0 \end{array} \right.\]

On n’oublie pas de vérifier que c’est une solution du système initial. On fait les opérations \(L_2\leftarrow 3L_2+L_1\) et \(L_3\leftarrow 3L_3-L_1\) pour obtenir : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 3x &-& y &+& 2z &=& a \\ -x &+& 2y &-& 3z &=& b \\ x &+& 2y &+& z &=& c \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 3x &-& y &+& 2z &=& a \\ & & 5y &-& 7z &=& 3b+a \\ & & 7y &+& z &=& 3c-a \end{array} \right.\] Puis on fait \(L_3\leftarrow 5L_3-7L_2\), ce qui donne un système triangulaire : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 3x &-& y &+& 2z &=& a \\ & & 5y &-& 7z &=& 3b+a \\ & & & & 54z &=& 5(3c-a)-7(3b+a) \end{array} \right.\] En partant de la fin on en déduit : \(z= \frac{1}{54}(-12a-21b+15c)\) puis en remontant cela donne \[\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& \frac{1}{18}(8a+5b-c) \\ y &=& \frac{1}{18}(-2a+b+7c) \\ z &=& \frac{1}{18}(-4a-7b+5c) \end{array} \right.\]

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