Soit \(E\) un ensemble fini et \(A = {\cal P}(E)\).
1
Montrer que \((A,\Delta,\cap)\) est un anneau commutatif. Est-il intègre ?
2
Soit \(I\) un idéal de \(A\). Montrer que : \(\begin{cases}\forall\ X \in I,\ \forall\ Y \subset X,\text{ on a } Y \in I\cr \forall\ X,Y \in I,\text{ on a } X \cup Y \in I.\end{cases}\)
3
En déduire que \(I = {\cal P}(E')\) avec \(E' \subset E\).
4
Étudier la réciproque.
5
Si \(E\) est infini, montrer que \(I = \{\)parties finies de \(E \}\) est un idéal qui n’est pas de la forme \({\cal P}(E')\).