exo7 3005

Montrer que $(A,\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif. Est-il intègre ?

Soit $I$ un idéal de $A$. Montrer que : $\begin{cases}\forall\ X \in I,\ \forall\ Y \subset X,\text{ on a } Y \in I\cr \forall\ X,Y \in I,\text{ on a } X \cup Y \in I.\end{cases}$

En déduire que $I = {\cal P}(E')$ avec $E' \subset E$.

Étudier la réciproque.

Si $E$ est infini, montrer que $I = \{$parties finies de $E \}$ est un idéal qui n’est pas de la forme ${\cal P}(E')$.