L3 Calcul différentiel Difféomorphisme, théorème d'inversion locale et des fonctions implicites 3 questions

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Soit f:Rn→Rnf: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n une application C1C^1. On suppose qu’il existe α>0\alpha >0 tel que pour tout h,x∈Rnh,x \in \mathbb{R}^n, ⟨Df(x)(h),h⟩≥α⟨h,h⟩.\langle Df(x)(h),h \rangle \geq \alpha\langle h,h\rangle.

1

En considérant la fonction t→φ(t)=⟨f(a+t(b−a)),ba)⟩t \rightarrow \varphi(t)= \langle f(a+t(b-a)),b_a) \rangle, montrez que ⟨f(b)−f(a),b−a⟩≥α⟨b−a,b−a⟩ pour tout a,b∈Rn.\langle f(b)-f(a),b-a \rangle \geq \alpha \langle b-a,b-a \rangle \text{ pour tout } a,b \in \mathbb{R}^n. En déduire que ff est une application fermée.

2

Démontrer que, pour tout x∈E,Df(x)x \in E, Df(x) est un isomorphisme de Rn\mathbb{R}^n. En déduire que ff est une application ouverte.

3

Conclure que ff est un difféomorphisme de classe C1C^1 de Rn\mathbb{R}^n sur lui même.

Exercice GVZp

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