Soit \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) une application \(C^1\). On suppose qu’il existe \(\alpha >0\) tel que pour tout \(h,x \in \mathbb{R}^n\), \[\langle Df(x)(h),h \rangle \geq \alpha\langle h,h\rangle.\]
1
En considérant la fonction \(t \rightarrow \varphi(t)= \langle f(a+t(b-a)),b_a) \rangle\), montrez que \[\langle f(b)-f(a),b-a \rangle \geq \alpha \langle b-a,b-a \rangle \text{ pour tout } a,b \in \mathbb{R}^n.\] En déduire que \(f\) est une application fermée.
2
Démontrer que, pour tout \(x \in E, Df(x)\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}^n\). En déduire que \(f\) est une application ouverte.
3
Conclure que \(f\) est un difféomorphisme de classe \(C^1\) de \(\mathbb{R}^n\) sur lui même.