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On pose : $f(x,y) = \begin{cases} x &\text{ si } y\ge0 \text{ et } 0\le x\le \sqrt y~;\cr 2\sqrt y - x &\text{ si } y\ge0 \text{ et } \sqrt y < x\le 2\sqrt y~;\cr 0 &\text{ si } y\ge0 \text{ et } 2\sqrt y < x \text{ ou } x\le 0~;\cr -f(x,-y) &\text{ si } y<0.\cr\end{cases}$ et : $F(y) = \int_{x=0}^1 f(x,y)\,d x$.

Faire un dessin, vérifier que $f$ est continue sur $\R^2$, calculer $F(y)$ pour $-\frac14 \le y \le \frac 14$, $F'(0)$ et $\int_{x=0}^1 \frac{\partial f}{\partial y}(x,0)\,d x$.