Soit \(\alpha\), \(0<\alpha <{\pi\over 2}\) et \(\Delta =\{ z\in\C, z=re^{i\theta }\vert\ 0<r,\vert \theta \vert<\alpha \}\). On note, pour \(\eta >0\), \(\Delta_\eta =\{ z\in\C, z=re^{i\theta }\vert\ \eta <r,\vert \theta \vert<\alpha \}\). Dessiner \(\Delta\) et \(\Delta _\eta\).
Dans tout ce qui suit, \(f\) désigne une fonction holomorphe sur \(\Delta\), bornée et continue sur \(\overline{\Delta }\), l’adhérence de \(\Delta\). On note \(\partial \Delta\), la frontière de \(\Delta\).
On pose \(\displaystyle\tilde M=\sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert\) et, pour tout \(r>0\), \(\displaystyle M_r=\sup_{z\in \Delta,\vert z\vert =r }\vert f(z)\vert\).
On suppose \[\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert\to\infty}\vert f(z)\vert =0.\leqno{(*)}\]
Soit \(R>0\), montrer que l’on a \[\sup_{z\in\overline{\Delta },\vert z\vert \le R}\vert f(z)\vert\le \max{(\tilde M,M_R)}\] et donc \[\sup_{z\in \overline{\Delta }}\vert f(z)\vert \le \sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert.\]
On ne suppose plus (*). On pose, pour tout \(n\in {\Nn}\), \(n>0\), et tout \(z\ne 0\), \(g_n(z)={f(z)^n\over z}\). En majorant, comme dans la question 1. \(\sup_{z\in\overline{\Delta _\eta },\vert z\vert\le R}\vert g_n(z)\vert\), montrer que l’on a, pour tout \(n>0\), tout \(\eta >0\) et tout \(z\) de \(\Delta _\eta\), \[\left\vert{f(z)^n\over z}\right\vert\le {1\over \eta }\max{\left( (\tilde M)^n,(M_\eta )^n\right) }\] et de là \[\sup_{z\in \overline{\Delta _\eta }}\vert f(z)\vert \le \max{\left(\tilde M,M_\eta \right) }.\] En déduire que l’on a encore \[\sup_{z\in \overline{\Delta }}\vert f(z)\vert \le \sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert.\]
On suppose maintenant que l’on a \(\lim_{r\to\infty}\vert f(re^{i\alpha })\vert =0\) et \(\lim_{r\to\infty}\vert f(re^{-i\alpha })\vert =0\). On se propose de montrer qu’alors \(\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert \to\infty}\vert f(z)\vert =0\).
En majorant la fonction \(z\mapsto \left\vert {z\over z+A}\right\vert\), \(A>0\), montrer que, pour tout \(\varepsilon >0\), il existe \(R>0\) tel que l’on ait, pour tout \(A>0\), \[\sup_{z\in\partial \Delta ,\vert z\vert>R}\left\vert{z\over z+A}f(z)\right\vert\le \varepsilon .\] Montrer qu’alors il existe \(A>0\) tel que l’on ait \[\sup_{z\in\partial \Delta }\left\vert{z\over z+A}f(z)\right\vert\le \varepsilon .\] En utilisant la question 2., en déduire que l’on a \(\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert \to\infty}\vert f(z)\vert =0\).