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On suppose $$\begin{equation}\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert\to\infty}\vert f(z)\vert =0.\tag*{$(*)$}\end{equation}$$

Soit $R>0$, montrer que l’on a $$\sup_{z\in\overline{\Delta },\vert z\vert \le R}\vert f(z)\vert\le \max{(\tilde M,M_R)}$$ et donc $$\sup_{z\in \overline{\Delta }}\vert f(z)\vert \le \sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert.$$

On ne suppose plus (*). On pose, pour tout $n\in {\Nn}$, $n>0$, et tout $z\ne 0$, $g_n(z)={f(z)^n\over z}$. En majorant, comme dans la question 1. $\sup_{z\in\overline{\Delta _\eta },\vert z\vert\le R}\vert g_n(z)\vert$, montrer que l’on a, pour tout $n>0$, tout $\eta >0$ et tout $z$ de $\Delta _\eta$, $$\left\vert{f(z)^n\over z}\right\vert\le {1\over \eta }\max{\left( (\tilde M)^n,(M_\eta )^n\right) }$$ et de là $$\sup_{z\in \overline{\Delta _\eta }}\vert f(z)\vert \le \max{\left(\tilde M,M_\eta \right) }.$$ En déduire que l’on a encore $$\sup_{z\in \overline{\Delta }}\vert f(z)\vert \le \sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert.$$

On suppose maintenant que l’on a $\lim_{r\to\infty}\vert f(re^{i\alpha })\vert =0$ et $\lim_{r\to\infty}\vert f(re^{-i\alpha })\vert =0$. On se propose de montrer qu’alors $\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert \to\infty}\vert f(z)\vert =0$.

En majorant la fonction $z\mapsto \left\vert {z\over z+A}\right\vert$, $A>0$, montrer que, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $R>0$ tel que l’on ait, pour tout $A>0$, $$\sup_{z\in\partial \Delta ,\vert z\vert>R}\left\vert{z\over z+A}f(z)\right\vert\le \varepsilon .$$ Montrer qu’alors il existe $A>0$ tel que l’on ait $$\sup_{z\in\partial \Delta }\left\vert{z\over z+A}f(z)\right\vert\le \varepsilon .$$ En utilisant la question 2., en déduire que l’on a $\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert \to\infty}\vert f(z)\vert =0$.