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Soit $B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)$ et $C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)$. On considère l’application $\phi$ suivante : $$\phi~: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,n}(\R) & \rightarrow & \R \\ A & \mapsto & \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} \end{array}$$ Etudier la multi-linéarité de $\phi$ par rapport aux colonnes de $A$. Calculer $\phi(\mathrm{id})$. En déduire que $$\det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}=\det(A)\det(C)$$ Soit $M= \begin{pmatrix} A_{1}&\cdots & \\ &\ddots &\vdots\\ 0 & & A_{k} \\ \end{pmatrix}$ une matrice triangulaire par blocs. Montrer que $\det(M)=\det(A_{1})\cdots\det(A_{k})$