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Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère l’application \(\phi\) suivante : \[\phi~: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,n}(\R) & \rightarrow & \R \\ A & \mapsto & \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} \end{array}\] Etudier la multi-linéarité de \(\phi\) par rapport aux colonnes de \(A\). Calculer \(\phi(\mathrm{id})\). En déduire que \[\det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}=\det(A)\det(C)\] Soit \(M= \begin{pmatrix} A_{1}&\cdots & \\ &\ddots &\vdots\\ 0 & & A_{k} \\ \end{pmatrix}\) une matrice triangulaire par blocs. Montrer que \(\det(M)=\det(A_{1})\cdots\det(A_{k})\)