On rappelle qu’une fonction complexe \(f\) a une racine \(n\)ième holomorphe dans un ouvert connexe \(\Omega\) s’il existe \(g\in H(\Omega)\) telle que \(g^n(z)=f(z)\).
1
Montrer que si \(f\) admet un logarithme holomorphe dans \(\Omega\), elle y admet des racines de tous ordres; montrer, sur un exemple, qu’une fonction holomorphe \(f\) peut admettre une racine sans admettre de logarithme (holomorphe).
2
Si \(g_1,g_2\) sont deux fonctions continues de \(\Omega\) connexe dans \({\Cc}\backslash\{0\}\), telles que \(g_1^n=g_2^n\) pour un entier \(n\geq1\), montrer que \(g_1=e^{2i\pi k\over n}g_2\) où \(k\) est un entier et \(g_1=g_2\) dès que les fonctions coincident en un point.