Pour \(k\) élément de \(\{-3,-2,-1,1,2,3\}\), posons \(x_k=\sin\frac{k\pi}{7}\) (les \(x_k\) sont deux à deux opposés). Il faut calculer les coefficients du polynôme

\[\begin{align*}\ensuremath P&=(X-\sin\frac{\pi}{7})(X-\sin\frac{2\pi}{7})(X-\sin\frac{3\pi}{7})(X+\sin\frac{\pi}{7})(X+\sin\frac{2\pi}{7})(X+\sin\frac{3\pi}{7})\\ &=(X^2-\sin^2\frac{\pi}{7})(X^2-\sin^2\frac{2\pi}{7})(X^2-\sin^2\frac{3\pi}{7})\\ &=(X^2-\frac{1}{2}(1-cos\frac{2\pi}{7}))(X^2-\frac{1}{2}(1-cos\frac{4\pi}{7})) (X^2-\frac{1}{2}(1-cos\frac{6\pi}{7}))\\ &=\frac{1}{8}Q(-2X^2+1) \end{align*}\]

où \(Q(Y)=(\cos\frac{2\pi}{7}-Y)(\cos\frac{4\pi}{7}-Y)(\cos\frac{8\pi}{7}-Y)\).

Posons \(\omega=e^{2i\pi/7}\).

\[\begin{align*}\ensuremath \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}&=\frac{1}{8}(\omega+\omega^6)(\omega^2+\omega^5)(\omega^3+\omega^4) =\frac{1}{8}(6+\omega^7+\omega^9+\omega^{10}+\omega^{11}+\omega^{12}+\omega^{14}+\omega^{15})\\ &=\frac{1}{8}(\omega^6+\omega^7+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+1+\omega)=\frac{1}{8}. \end{align*}\]

Puis,

\[\begin{align*}\ensuremath \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}+ \cos\frac{6\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}&=\frac{1}{4}((\omega+\omega^6)(\omega^2+\omega^5)+(\omega+\omega^6)(\omega^3+\omega^4)+(\omega^3+\omega^4)(\omega^2+\omega^5))\\ &=\frac{1}{4}(2\omega+2\omega^2+2\omega^3+2\omega^4+2\omega^5+2\omega^6)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}. \end{align*}\]

Enfin,

\[\begin{align*}\ensuremath \cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}&=\frac{1}{2}(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=-\frac{1}{2} \end{align*}\]

Donc, \(Q=\frac{1}{8}-(-\frac{1}{2})Y+(-\frac{1}{2})Y^2-Y^3=\frac{1}{8}(-8Y^3-4Y^2+4Y+1)\) puis,

\[P=\frac{1}{64}(-8(-2X^2+1)^3-4(-2X^2+1)^2+4(-2X^2+1)+1)=\frac{1}{64}(64X^6-112X^4+54X^2-7).\] Une équation du \(6\)ème degré dont les solutions sont les sin est \(64x^6-112x^4+54x^2-7=0\).

Maintenant, si \(r=\) (\(p\) entier relatif non nul, \(q\) entier naturel non nul, \(p\) et \(q\) premiers entre eux) est une racine rationnelle de cette équation, alors, d’après l’exercice [exo:suprou9], \(p\) divise \(-7\) et \(q\) divise \(64\) et donc \(p\) est élément de \(\{1,-1,7,-7\}\) et \(q\) est élément de \(\{1,2,4,8,16,32,64\}\). On vérifie aisémént qu’aucun des rationnels \(r\) obtenu n’est racine de \(P\) et donc les racines de \(P\) sont irrationnelles.

exo7 5345