L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

exo7 939

Soit EE un espace vectoriel de dimension finie, ff une application linéaire de EE dans EE ; montrer que les propriétés (1) à (3) sont équivalentes :

1

[(1)] E=Im f⊕ker⁡fE=\mbox{Im }f \oplus\ker f,

2

[(2)] Im f=Im f2\mbox{Im }f = \mbox{Im }f^2,

3

[(3)] ker⁡f=ker⁡f2\ker f=\ker f^2.

Exercice Lq9p

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