Il faut vérifier que \(nu_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0\). Pour \(n\in\Nn\), posons \(S_n =\sum_{k=0}^{n}u_k\). Pour \(n\in\Nn\), on a

\[\begin{align*}\ensuremath 0<(2n)u_{2n}&=2(\underbrace{u_{2n}+\ldots+u_{2n}}_{n})\leqslant2\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\;(\text{car la suite}\;u\;\text{est décroissante})\\ &= 2(S_{2n} - S_n). \end{align*}\]

Puisque la série de terme général \(u_n\) converge, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}2(S_{2n} - S_n)=0\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}(2n)u_{2n}=0\).

Ensuite, \(0 < (2n+1)u_{2n+1}\leqslant(2n+1)u_{2n}=(2n)u_{2n}+u_{2n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0\). Donc les suites des termes de rangs pairs et impairs extraites de la suite \((nu_n)_{n\in\Nn}\) convergent et ont même limite à savoir \(0\). On en déduit que \(\lim_{n \rightarrow +\infty}nu_n=0\) ou encore que \(u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{n}\right)\).

Contre exemple avec \(u\) non monotone. Pour \(n\in\Nn\), on pose \(u_n=\left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{si}\;n=0\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{n}\;\text{si}\;n\;\text{est un carré parfait non nul}\\ 0\;\text{sinon} \end{array} \right.\). La suite \(u\) est positive et \(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{1}{p^2}<+\infty\). Pourtant, \(p^2u_{p^2}=1\underset{p\rightarrow+\infty}{\rightarrow}1\) et la suite \((nu_n)\) admet une suite extraite convergeant vers \(1\). On a donc pas \(\lim_{n \rightarrow +\infty}nu_n=0\).

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