Pour \(n \ge 4\) \[\frac{n!}{n^n} = \frac{2}{n} \times \frac{3}{n} \times \underbrace{\frac{4}{n} \times \cdots\times\frac{n}{n}}_{\le 1} \le \frac{6}{n^2} .\] Or \(\sum \frac{6}{n^2}\) est convergente. Donc \(\sum \frac{n!}{n^n}\) est aussi convergente par comparaison. Montrons que \((\ch \sqrt{\ln n })^{-2} \ge \left(\sqrt n+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-2}\) pour \(n\) assez grand. On a : \[\begin{array}{rcl} 4\ln n & \le & \ln^{2}{n} \quad \text{pour $n$ assez grand} \\ \ln n & \le & \left(\frac{1}{2}\ln n \right)^{2} \\ \sqrt{\ln n} & \le & \frac{1}{2}\ln n = \ln{\sqrt{n}} \\ \mathrm{ch}(\sqrt{\ln n }) & \le & \mathrm{ch}(\ln{\sqrt{n}}) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \quad \text{car $ x \mapsto \mathrm{ch} x$ est croissante} \\ \mathrm{ch}(\sqrt{\ln n })^{-2} & \ge & 4 \left(\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{-2} \end{array}\] Or \(\sqrt{n} \sim \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n} }\), et \(\left(\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{-2} \sim \frac{1}{n}\), donc \(\sum \left(\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{2}\) est divergente. Par comparaison, la série de terme général \((\mathrm{ch}\sqrt{\ln n })^{2}\) est divergente. Montrons que \(n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) } \sim n^{-1}\). On a : \(\displaystyle \frac{ n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) } }{ n^{-1} } = n^{-\frac{1}{n}} = e^{-\frac{\ln n }{n}}\). Or \(\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln n }{n} = 0\), d’où \(\lim_{n \to + \infty} e^{-\frac{\ln n }{n}} = 1\). Par équivalence, la série de terme général \(n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) }\) est donc divergente car la série harmonique est divergente. Montrons que \(\frac{1}{\sqrt{n}}\ln{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \sim \frac{1}{n}\). En utilisant le développement limité de \(\ln (1 +x)\) en \(0\), on a : \(\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\). De là on tire que \(\frac{1}{\sqrt{n}}\ln{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n}\). Par équivalence, la série de terme général \(n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) }\) est donc divergente. On sait que : \(\ln{(e^n-1)} \le \ln{e^n} = n\). De plus, \(\ln n \ge 1\) pour \(n\) assez grand, par conséquent \(\frac{\ln n}{\ln (e^n-1)} \ge \frac{1}{n}\). On conclut par comparaison que la série \(\sum \frac{\ln n }{\ln{(e^n-1)}}\) est divergente. Montrons que \(n^{\ln n }e^{-\sqrt{n}} \le n^{-2}\). On remarque que \(n^{\ln n }e^{-\sqrt{n}} = e^{(\ln n)^2}e^{-\sqrt{n}}\). Or pour \(u\) assez grand \(4u^2 + 4u \le e^u\), soit \(4u^2 - e^u \le - 4u\). En posant \(u = \ln \sqrt{n} = \frac{1}{2} \ln n\), il vient \(\ln^2{n} - \sqrt{n} \le -2\ln n\). D’où \[\underbrace{e^{\ln^2{n}-\sqrt{n}}}_{n^{\ln n }e^{-\sqrt{n}}} \le \underbrace{e^{-2\ln n }}_{\frac{1}{n^2}}\]

Par comparaison, la série de terme général \(n^{\ln n }e^{-\sqrt{n} }\) est donc convergente car la série de terme général \(\frac{1}{n^2}\) est convergente.

exo7 1936