L1 Algèbre Polynôme, fraction rationnelle Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

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On note Rn\R^n l’ensemble des nn-uplets (x1,…,xn)(x_1, \ldots, x_n) de nombres réels ; R[X]\R [X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels en la variable X ; R[X]p\R[X]_p le sous-ensemble des polynômes de degré ≤p\le p ; R(X)\R(X) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients réels en la variable X ; R(X)p\R(X)_p le sous-ensemble des fractions rationnelles de degré ≤p\le p ; Ck(R)C^k(\R) l’ensemble des fonctions réelles définies sur R\R et kk fois continûment dérivables (k≥0k \ge 0 entier) ; C∞(R)C^\infty(\R) l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur R\R.

1

Dotés des opérations d’addition et de multiplication usuelles, lesquels de ces ensembles sont des espaces vectoriels ?

2

Montrer que R[X]p⊂R[X]⊂R(X)\R[X]_p \subset \R[X] \subset \R(X) et que C∞(R)⊂Ck(R)⊂C0(R)C^\infty(\R) \subset C^k(\R) \subset C^0(\R), et que ce sont des sous-espaces vectoriels.

3

Si l’on identifie les polynômes et les fractions rationnelles aux fonctions correspondantes, a-t-on R[X]⊂C∞(R)\R[X] \subset C^\infty(\R) et R(X)⊂C∞(R)\R(X) \subset C^\infty(\R) ?

Exercice Omck

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