On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets \((x_1, \ldots, x_n)\) de nombres réels ; \(\R [X]\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels en la variable X ; \(\R[X]_p\) le sous-ensemble des polynômes de degré \(\le p\) ; \(\R(X)\) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients réels en la variable X ; \(\R(X)_p\) le sous-ensemble des fractions rationnelles de degré \(\le p\) ; \(C^k(\R)\) l’ensemble des fonctions réelles définies sur \(\R\) et \(k\) fois continûment dérivables (\(k \ge 0\) entier) ; \(C^\infty(\R)\) l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur \(\R\).
Dotés des opérations d’addition et de multiplication usuelles, lesquels de ces ensembles sont des espaces vectoriels ?
Montrer que \(\R[X]_p \subset \R[X] \subset \R(X)\) et que \(C^\infty(\R) \subset C^k(\R) \subset C^0(\R)\), et que ce sont des sous-espaces vectoriels.
Si l’on identifie les polynômes et les fractions rationnelles aux fonctions correspondantes, a-t-on \(\R[X] \subset C^\infty(\R)\) et \(\R(X) \subset C^\infty(\R)\) ?