L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 1084

Soit f:C→Cf : \C \rightarrow \C l’application z↦eiθzˉ.z \mapsto e^{i\theta }\bar{z} . On considère C\C comme un R\R-espace vectoriel et on fixe la base ϵ={1,i}.\epsilon =\{ 1,i\} .

1

Montrer que ff est R\R-linéaire.

2

Calculer A=Mat(f,ϵ,ϵ).A=\hbox{Mat}(f, \epsilon , \epsilon ) .

3

Existent-ils xx et y∈C−{0}y \in \C -\{ 0\} tels que f(x)=xf(x)=x et f(y)=−y?f(y) =-y ? Si c’est le cas déterminer un tel xx et un tel y.y .

4

Décrire géométriquement f.f .

5

Soit g:C→Cg : \C \rightarrow \C l’application z↦eiρzˉ.z \mapsto e^{i\rho }\bar{z} . Calculer A=Mat(g∘f,ϵ,ϵ)A=\hbox{Mat}(g\circ f, \epsilon , \epsilon ) et décrire géométriquement g∘f.g\circ f .

Exercice P8Sn

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