Soit \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) et \(I_{(\alpha,\beta)} = \int_{0}^{\pi} (\alpha t + \beta t^2) \cos(nt) \, dt\). Une intégration par partie nous donne \[I_{(\alpha,\beta)} = \underbrace{ \left[ (\alpha t + \beta t^2)\frac{\sin(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} }_{ = 0 } - \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} (\alpha + 2\beta t)\sin(nt)\, dt\] En faisant une intégration par partie sur la deuxième intégrale, on a: \[\begin{aligned} I_{(\alpha,\beta)} &=& \left[ \frac{\alpha + 2\beta t}{n^2}\cos(nt) \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{2\beta \cos(nt)}{n^2}\, dt \\ &=& \left( \frac{\alpha + 2\beta \pi}{n^2}\cos(n\pi) - \frac{\alpha}{n^2} \right) + \underbrace{ \frac{2\beta}{n^2} \left[ \frac{\sin(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} }_{ = 0} \; \cdotp\end{aligned}\] On obtient \(I_{(\alpha,\beta)} = \frac{\alpha + 2 \beta \pi}{n^2}\cos(n \pi) - \frac{\alpha}{n^2}\). \[\begin{aligned} I_{(\alpha,\beta)} = \frac{1}{n^2} & \Longleftrightarrow & (\alpha + 2 \beta \pi) \underbrace{ \cos(n\pi) }_{ = (-1)^n} - \alpha = 1 \\ & \Longleftrightarrow & (\alpha + 2 \beta \pi)(-1)^n - (1 +\alpha) = 0 {}\end{aligned}\] Donc pour tout \(n\in \mathbb{N}\) \[\left\{ \begin{array}{rcl} (\alpha + 2 \beta \pi)(-1)^n &=& 0 \\ (1 +\alpha) &=& 0 \end{array} \right.\] Ainsi en prenant \(\alpha = -1\) et \(\beta = \frac{1}{2\pi}\), on obtient: \[I_{ (-1,\frac{1}{2\pi}) } = \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{1}{2\pi} t^2 \right) \cos(nt)\, dt = \frac{1}{n^2} \; \cdotp\] D’où, \[\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} = \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{1}{2\pi} t^2 \right) \sum_{k = 1}^{n}\cos(kt)\, dt \qquad \qquad (1)\] Or \[\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} \cos(kt) &=& \Re \left(\sum_{k = 0}^{n}e^{ikt}\right) - 1 = \cfrac{ \sin(\frac{n+1}{2}t)} { \sin(\frac{t}{2}) }\text{Re}(e^{i \frac{nt}{2} }) - 1 \\ &=& \cos \left( \frac{nt}{2} \right) \times \cfrac{ \sin( \frac{n}{2}t )\cos( \frac{t}{2} ) + \cos( \frac{n}{2}t )\sin( \frac{t}{2} ) } { \sin(\frac{t}{2}) } - 1 \\ &=& \cos \left( \frac{nt}{2} \right) \sin \left( \frac{nt}{2} \right) \cot \left( \frac{t}{2} \right) + \underbrace{ \cos^2 \left( \frac{nt}{2} \right) - 1 }_{ = -\sin^2(\frac{nt}{2}) } \end{aligned}\] Donc \(\sum_{k = 1}^{n} \cos(kt) = \frac{1}{2}\sin(nt)\cot \left( \frac{t}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{nt}{2} \right)\).

En appliquant ce résultat à (1) on obtient: \[\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin(nt)\cot \left( \frac{t}{2} \right) \, dt - \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin^2 \left(\frac{nt}{2} \right) \, dt\] En posant \(\phi (t) = (-t + \frac{1}{2\pi} t^2)\cot(\frac{t}{2})\), on a: \[\sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} \phi (t)\sin(nt)\, dt - \lim_{n \to +\infty}\int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{1}{2\pi} t^2 \right) \sin^2 \left(\frac{nt}{2} \right) \, dt\] Comme \[(-t + \frac{1}{2\pi} t^2)\cot \frac{t}{2} = (-t + \frac{1}{2\pi} t^2) \cfrac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \thicksim_{t \to 0} - t \cfrac{\cos \frac{t}{2}} {\frac{t}{2}} = - 2 \cos \frac{t}{2} \thicksim - 2\] l’application \(\phi\) se prolonge par continuité en \(0\). Utilisons le résultat classique suivant: si \(h\) est une fonction continue sur \([0, \pi]\), alors \[\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} h(t)\sin(nt)\, dt = 0 \quad \text{ et } \quad \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} h(t)\cos(nt)\, dt = 0 \; .\] appliqué à \(\phi\): \(\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} \phi (t)\sin(nt)\, dt = 0\). De plus, \[\int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin^2 \left(\frac{nt}{2} \right) \, dt = \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \left(\frac{1 - \cos(nt)}{2} \right)\, dt\] par conséquent \[\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin^2 \left( \frac{nt}{2} \right) \, dt = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left( -t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \, dt \; .\] Finalement \[\sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \, dt = -\frac{1}{2} \left( \left[ -\frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_{0}^{\pi} \right) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{6}\]

(Corrigé de Eugène Ndiaye)

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