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Calculer $$\int_{C(0,1)}\left(2+z+\frac{1}{z}\right)\frac{f(z)}{z}dz.$$

En déduire que $$\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\cos^2\big(\theta/2\big)d\theta=2f(0)+f'(0).$$

Utiliser une stratégie similaire pour calculer $\displaystyle{\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\sin^2\big(\theta/2\big)d\theta}.$