Soit \(U\subset \C\) un ouvert contenant \(B(0,1)\). Soit \(f:U\to \C\) une fonction holomorphe.
1
Calculer \[\int_{C(0,1)}\left(2+z+\frac{1}{z}\right)\frac{f(z)}{z}dz.\]
2
En déduire que \[\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\cos^2\big(\theta/2\big)d\theta=2f(0)+f'(0).\]
3
Utiliser une stratégie similaire pour calculer \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\sin^2\big(\theta/2\big)d\theta}.\)