Soit \(P\in E\). \(P\in\mbox{Ker }\varphi\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;P(x+1)=P(x)\). Montrons alors que \(P\) est constant. Soit \(Q=P-P(0)\). \(Q\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) s’annulant en les entiers naturels 0, 1, 2,... (car \(P(0)=P(1)=P(2)=...\)) et a ainsi une infinité de racines deux à deux distinctes. \(Q\) est donc le polynôme nul ou encore \(\forall x\in\Rr,\;P(x)=P(0)\). Par suite, \(P\) est un polynôme constant. Réciproquement, les polynômes constants sont clairement dans \(\mbox{Ker }\varphi\) et donc

\[\mbox{Ker }\varphi=\{\mbox{polynômes constants}\}=\Rr_0[X].\] Pour déterminer \(\mbox{Im }\varphi\), on note tout d’abord que si \(P\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\), alors \(\varphi(P)=P(X+1)-P(X)\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n-1\). En effet, si \(P=a_nX^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k\) (avec \(a_n\) quelconque, éventuellement nul) alors

\[\begin{align*} \varphi(P)&=a_n((X+1)^n-X^n)+\mbox{termes de degré inférieur on égal à}\;n-1\\ &=a_n(X^n-X^n)+\mbox{termes de degré inférieur on égal à}\;n-1\\ &=\mbox{termes de degré inférieur on égal à}\;n-1. \end{align*}\] Donc, \(\mbox{Im }(\varphi)\subset\Rr_{n-1}[X]\). Mais d’après le théorème du rang,

\[\mbox{dim }\mbox{Im }(\varphi)=\mbox{dim }\Rr_n[X]-\mbox{dim }\mbox{Ker }(\varphi)=(n+1)-1=n=\mbox{dim }\Rr_{n-1}[X] <+\infty,\] et donc \(\mbox{Im }\varphi=\Rr_{n-1}[X]\). (On peut noter que le problème difficile soit \(Q\in\Rr_{n-1}[X]\). Existe-t-il \(P\in\Rr_n[X]\) tel que \(P(X+1)-P(X)=Q\) ? a été résolu simplement par le théorème du rang.)

exo7 5186