Soit $P\in E$ . $P\in\mbox{Ker }\varphi\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;P(x+1)=P(x)$ . Montrons alors que $P$ est constant. Soit $Q=P-P(0)$ . $Q$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ s’annulant en les entiers naturels 0, 1, 2,... (car $P(0)=P(1)=P(2)=...$ ) et a ainsi une infinité de racines deux à deux distinctes. $Q$ est donc le polynôme nul ou encore $\forall x\in\Rr,\;P(x)=P(0)$ . Par suite, $P$ est un polynôme constant. Réciproquement, les polynômes constants sont clairement dans $\mbox{Ker }\varphi$ et donc

$\mbox{Ker }\varphi=\{\mbox{polynômes constants}\}=\Rr_0[X].$ Pour déterminer $\mbox{Im }\varphi$ , on note tout d’abord que si $P$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ , alors $\varphi(P)=P(X+1)-P(X)$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$ . En effet, si $P=a_nX^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ (avec $a_n$ quelconque, éventuellement nul) alors

$\begin{align*} \varphi(P)&=a_n((X+1)^n-X^n)+\mbox{termes de degré inférieur on égal à}\;n-1\\ &=a_n(X^n-X^n)+\mbox{termes de degré inférieur on égal à}\;n-1\\ &=\mbox{termes de degré inférieur on égal à}\;n-1. \end{align*}$ Donc, $\mbox{Im }(\varphi)\subset\Rr_{n-1}[X]$ . Mais d’après le théorème du rang,

$\mbox{dim }\mbox{Im }(\varphi)=\mbox{dim }\Rr_n[X]-\mbox{dim }\mbox{Ker }(\varphi)=(n+1)-1=n=\mbox{dim }\Rr_{n-1}[X] <+\infty,$ et donc $\mbox{Im }\varphi=\Rr_{n-1}[X]$ . (On peut noter que le problème difficile soit $Q\in\Rr_{n-1}[X]$ . Existe-t-il $P\in\Rr_n[X]$ tel que $P(X+1)-P(X)=Q$ ? a été résolu simplement par le théorème du rang.)

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