On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}\), pour \(t \ge 0\).
1
Déterminer la limite simple, \(\ell\), des fonctions \(f_n\).
2
Y a-t-il convergence uniforme sur \(\R^+\) ?
3
Démontrer que : \(\forall\ t > 0,\ |f_{n+1}(t) - \ell(t)| \le \frac {|f_n(t) - \ell(t)|}{2f_{n+1}(t)}\).
4
En déduire que la suite \((f_n)\) converge uniformément sur tout intervalle \([a,+\infty[\), avec \(a>0\). (Remarquer que \(f_n - \ell\) est bornée pour \(n \ge 1\))