L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI 4 questions

exo7 4513

On pose $f_0(t) = 0$ , $f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}$ , pour $t \ge 0$ .

Déterminer la limite simple, $\ell$ , des fonctions $f_n$ .

Y a-t-il convergence uniforme sur $\R^+$ ?

Démontrer que : $\forall\ t > 0,\ |f_{n+1}(t) - \ell(t)| \le \frac {|f_n(t) - \ell(t)|}{2f_{n+1}(t)}$ .

En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$ , avec $a>0$ . (Remarquer que $f_n - \ell$ est bornée pour $n \ge 1$ )