$\omega$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[^2$ qui est un ouvert étoilé de $\Rr^2$ . Donc $\omega$ est exacte sur $]0,+\infty[^2$ si et seulement si $\omega$ est fermée sur $]0,+\infty[^2$ d’après le théorème de Schwarz.

$\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{1}{xy^2}\right)= \frac{1}{x^2y^2}$ et $\omega= \frac{xdy-ydx}{(x-y)^2}$ . Donc $\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{1}{xy^2}\right)\neq \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{x^2y}\right)$ et $\omega= \frac{1}{x^2y}dx - \frac{1}{xy^2}dy$ n’est pas exacte sur $]0,+\infty[^2$ .

On cherche un facteur intégrant de la forme $h~:~(x,y)\mapsto g(x^2+y^2)$ où $g$ est une fonction non nulle de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ .

$\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{1}{xy^2}g(x^2+y^2)\right)= \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)- \frac{2}{y^2}g'(x^2+y^2)$ et $\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{x^2y}g(x^2+y^2)\right)=- \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)+ \frac{2}{x^2}g'(x^2+y^2)$ .

$\begin{align*}\ensuremath h\omega\;\text{est exacte sur}\;]0,+\infty[^2&\Leftrightarrow\forall(x,y)\in]0,+\infty[^2,\; \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)- \frac{2}{y^2}g'(x^2+y^2)=- \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)+ \frac{2}{x^2}g'(x^2+y^2)\\ &\Leftrightarrow\forall(x,y)\in]0,+\infty[^2,\; \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)- \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}g'(x^2+y^2)=0\\ &\Leftrightarrow\forall t>0,\;-tg'(t)+g(t)=0\Leftrightarrow\exists \lambda\in\Rr/\;\forall t>0,\;g(t)=\lambda t. \end{align*}$

La forme différentielle $(x^2+y^2)\omega$ est exacte sur $]0,+\infty[^2$ . De plus,

$d\left( \frac{x}{y}- \frac{y}{x}\right)=\left( \frac{1}{y}+ \frac{y}{x^2}\right)dx-\left( \frac{x}{y^2}+ \frac{1}{x}\right)dy=(x^2+y^2)\omega$ .

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