\(\omega\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[^2\) qui est un ouvert étoilé de \(\Rr^2\). Donc \(\omega\) est exacte sur \(]0,+\infty[^2\) si et seulement si \(\omega\) est fermée sur \(]0,+\infty[^2\) d’après le théorème de Schwarz.

\(\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{1}{xy^2}\right)= \frac{1}{x^2y^2}\) et \(\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{x^2y}\right)=- \frac{1}{x^2y^2}\). Donc \(\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{1}{xy^2}\right)\neq \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{x^2y}\right)\) et \(\omega\) n’est pas exacte sur \(]0,+\infty[^2\).

On cherche un facteur intégrant de la forme \(h~:~(x,y)\mapsto g(x^2+y^2)\) où \(g\) est une fonction non nulle de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\).

\(\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{1}{xy^2}g(x^2+y^2)\right)= \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)- \frac{2}{y^2}g'(x^2+y^2)\) et \(\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{x^2y}g(x^2+y^2)\right)=- \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)+ \frac{2}{x^2}g'(x^2+y^2)\).

\[\begin{align*}\ensuremath h\omega\;\text{est exacte sur}\;]0,+\infty[^2&\Leftrightarrow\forall(x,y)\in]0,+\infty[^2,\; \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)- \frac{2}{y^2}g'(x^2+y^2)=- \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)+ \frac{2}{x^2}g'(x^2+y^2)\\ &\Leftrightarrow\forall(x,y)\in]0,+\infty[^2,\; \frac{1}{x^2y^2}g(x^2+y^2)- \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}g'(x^2+y^2)=0\\ &\Leftrightarrow\forall t>0,\;-tg'(t)+g(t)=0\Leftrightarrow\exists \lambda\in\Rr/\;\forall t>0,\;g(t)=\lambda t. \end{align*}\]

La forme différentielle \((x^2+y^2)\omega\) est exacte sur \(]0,+\infty[^2\). De plus,

\(d\left( \frac{x}{y}- \frac{y}{x}\right)=\left( \frac{1}{y}+ \frac{y}{x^2}\right)dx-\left( \frac{x}{y^2}+ \frac{1}{x}\right)dy=(x^2+y^2)\omega\).

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