Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et \(\Phi : {\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}\) un automorphisme d’algèbre. On note \((\vec e_1, \dots, \vec e_n)\) une base fixée de \(E\), \((\varphi_{ij})\) la base de \(\mathcal{L}(E)\) associée \(\bigl(\varphi_{ij}(\vec e_k) = \delta_{jk}\vec e_i\bigr)\) et \(\psi_{ij} = \Phi(\varphi_{ij})\).
Simplifier \(\psi_{ij} \circ \psi_{k\ell}\).
En déduire qu’il existe \(\vec u_1 \in E\setminus\{\vec 0\}\) tel que \(\psi_{11}(\vec u_1) = \vec u_1\).
On note \(\vec u_i = \psi_{i1}(\vec u_1)\). Montrer que \(\psi_{ij}(\vec u_k) = \delta_{jk}\vec u_i\) et en déduire que \((\vec u_i)\) est une base de \(E\).
Soit \(f \in GL(E)\) définie par : \(f(\vec e_i) = \vec u_i\). Montrer que : \(\forall\ g \in \mathcal{L}(E),\ \Phi(g) = f\circ g \circ f^{-1}\).