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Soit $E$ un ev de dimension $n$ et $\Phi : {\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}$ un automorphisme d’algèbre. On note $(\vec e_1, \dots, \vec e_n)$ une base fixée de $E$ , $(\varphi_{ij})$ la base de $\mathcal{L}(E)$ associée $\bigl(\varphi_{ij}(\vec e_k) = \delta_{jk}\vec e_i\bigr)$ et $\psi_{ij} = \Phi(\varphi_{ij})$ .

Simplifier $\psi_{ij} \circ \psi_{k\ell}$ .

En déduire qu’il existe $\vec u_1 \in E\setminus\{\vec 0\}$ tel que $\psi_{11}(\vec u_1) = \vec u_1$ .

On note $\vec u_i = \psi_{i1}(\vec u_1)$ . Montrer que $\psi_{ij}(\vec u_k) = \delta_{jk}\vec u_i$ et en déduire que $(\vec u_i)$ est une base de $E$ .

Soit $f \in GL(E)$ définie par : $f(\vec e_i) = \vec u_i$ . Montrer que : $\forall\ g \in \mathcal{L}(E),\ \Phi(g) = f\circ g \circ f^{-1}$ .

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