exo7 5645

Soient $a_{i,j}$, $1\leqslant i,j\leqslant n$, $n^2$ fonctions dérivables sur $\Rr$ à valeurs dans $\Cc$. Soit $d=\text{det}(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$.

Montrer que $d$ est dérivable sur $\Rr$ et calculer $d'$.

Application : calculer $d_n(x)=\left| \begin{array}{cccc} x+1&1&\ldots&1\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\ldots&1&x+1 \end{array} \right|$.