Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal O\) une partie de \(\mathcal P(E)\). On dit que \(\mathcal O\) est une topologie sur \(E\) si les conditions suivantes sont vérifiées
\(\mathcal O\) est stable par intersection finie, autrement dit : pour tout \(n\in \N^*\) et toute famille \(U_1, \cdots U_n\) d’éléments de \(\mathcal O\), on a \(\bigcap_{i=1}^n U_i\in \mathcal O\).
\(\mathcal O\) est stable par union quelconque, autrement dit : pour tout ensemble \(I\) et toute famille \((U_i)_{i\in I}\) d’éléments de \(\mathcal O\), \(\bigcup_{i\in I}U_i \in \mathcal O\).
Les parties \(\emptyset\) et \(E\) sont des éléments de \(\mathcal O\).
Montrer que \(\mathcal O_1=\{\emptyset, E\}\) et \(\mathcal O_2=\mathcal P(E)\) sont des topologies sur \(E\).
Montrer que \[\mathcal O_3 = \left\{U\in \mathcal P(E)\:\middle|\: U=\emptyset \text{ ou }{}^cU\text{ est fini}\right\}\] est une topologie sur \(E\).
Combien de topologies différentes y a-t-il si \(E\) est l’ensemble vide ? S’il n’a qu’un seul élément ? Deux éléments ? Trois éléments ?