Reflexivité : Pour tout \(x\in \Rr\), \(xe^x=xe^x\) donc \(x\mathcal{R}x\). Symétrie : Pour \(x,y \in \Rr\), si \(x\mathcal{R} y\) alors \(xe^y=ye^x\) donc \(ye^x=xe^y\) donc \(y\mathcal{R} x\). Transitivité : Soient \(x,y,z \in \Rr\) tels que \(x\mathcal{R} y\) et \(y\mathcal{R} z\), alors \(xe^y=ye^x\) et \(ye^z=ze^y\). Calculons \(xye^z\) : \[xye^z= x(ye^z) = x(ze^y)= z(xe^y)=z(ye^x)=yze^x.\] Donc \(xye^z=yze^x\). Si \(y \neq 0\) alors en divisant par \(y\) on vient de montrer que \(xe^z=ze^x\) donc \(x\mathcal{R} z\) et c’est fini. Pour le cas \(y=0\) alors \(x=0\) et \(z=0\) donc \(x\mathcal{R} z\) également.

Soit \(x\in \Rr\) fixé. On note \(\mathcal{C}(x)\) la classe d’équivalence de \(x\) modulo \(\mathcal{R}\) : \[\mathcal{C}(x) := \left\lbrace y \in \Rr \mid y\mathcal{R} x \right\rbrace.\] Donc \[\mathcal{C}(x) = \left\lbrace y \in \Rr \mid xe^y = ye^x \right\rbrace.\] Soit la fonction \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \[f(t) = \frac t {e^t}.\] Alors \[\mathcal{C}(x) = \left\lbrace y \in \Rr \mid f(x)=f(y) \right\rbrace.\] Autrement dit \(\mathcal{C}(x)\) est l’ensemble des \(y\in \Rr\) qui par \(f\) prennent la même valeur que \(f(x)\) ; en raccourci : \[\mathcal{C}(x) = f^{-1}\left( f(x) \right).\]

Étudions maintenant la fonction \(f\) afin de déterminer le nombre d’antécédents: par un calcul de \(f'\) on montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,1]\) puis strictement décroissante sur \([1,+\infty[\). De plus en \(-\infty\) la limite de \(f\) est \(-\infty\), \(f(1) = \frac 1e\), et la limite en \(+\infty\) est \(0\).

C’est le moment de dessiner le graphe de \(f\) !!

Pour \(x\leqslant 0\) alors \(f(x) \in ]-\infty,0]\) et alors \(f(x)\) a un seul antécédent. Pour \(x>0\) avec \(x\neq 1\) alors \(f(x) \in ]0,\frac 1e[\) et alors \(f(x)\) a deux antécédents. pour \(x=1\), alors \(f(x) = 1/e\) n’a qu’un seul antécédent.

Bilan : si \(x \in {}]0,1[ \cup ]1,+\infty[\) alors \(\text{Card\,} \mathcal{C}(x) = \text{Card\,} f^{-1}\left( f(x) \right) = 2\), si \(x\leqslant 0\) ou \(x=1\) alors \(\text{Card\,} \mathcal{C}(x) = \text{Card\,} f^{-1}\left( f(x) \right) = 1\).

exo7 212