Reflexivité : Pour tout $x\in \Rr$ , $xe^x=xe^x$ donc $x\mathcal{R}x$ .
Symétrie : Pour $x,y \in \Rr$ , si $x\mathcal{R} y$ alors $xe^y=ye^x$ donc $ye^x=xe^y$ donc $y\mathcal{R} x$ .
Transitivité : Soient $x,y,z \in \Rr$ tels que $x\mathcal{R} y$ et $y\mathcal{R} z$ , alors $xe^y=ye^x$ et $ye^z=ze^y$ . Calculons $xye^z$ : $xye^z= x(ye^z) = x(ze^y)= z(xe^y)=z(ye^x)=yze^x.$ Donc $xye^z=yze^x$ . Si $y \neq 0$ alors en divisant par $y$ on vient de montrer que $xe^z=ze^x$ donc $x\mathcal{R} z$ et c’est fini. Pour le cas $y=0$ alors $x=0$ et $z=0$ donc $x\mathcal{R} z$ également.

Soit $x\in \Rr$ fixé. On note $\mathcal{C}(x)$ la classe d’équivalence de $x$ modulo $\mathcal{R}$ : $\mathcal{C}(x) := \left\lbrace y \in \Rr \mid y\mathcal{R} x \right\rbrace.$ Donc $\mathcal{C}(x) = \left\lbrace y \in \Rr \mid xe^y = ye^x \right\rbrace.$ Soit la fonction $f : \Rr \to \Rr$ définie par $f(t) = \frac t {e^t}.$ Alors $\mathcal{C}(x) = \left\lbrace y \in \Rr \mid f(x)=f(y) \right\rbrace.$ Autrement dit $\mathcal{C}(x)$ est l’ensemble des $y\in \Rr$ qui par $f$ prennent la même valeur que $f(x)$ ; en raccourci : $\mathcal{C}(x) = f^{-1}\left( f(x) \right).$

Étudions maintenant la fonction $f$ afin de déterminer le nombre d’antécédents: par un calcul de $f'$ on montrer que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,1]$ puis strictement décroissante sur $[1,+\infty[$ . De plus en $-\infty$ la limite de $f$ est $-\infty$ , $f(1) = \frac 1e$ , et la limite en $+\infty$ est $0$ .

C’est le moment de dessiner le graphe de $f$ !!

Pour $x\leqslant 0$ alors $f(x) \in ]-\infty,0]$ et alors $f(x)$ a un seul antécédent.
Pour $x>0$ avec $x\neq 1$ alors $f(x) \in ]0,\frac 1e[$ et alors $f(x)$ a deux antécédents.
pour $x=1$ , alors $f(x) = 1/e$ n’a qu’un seul antécédent.

Bilan : si $x \in {}]0,1[ \cup ]1,+\infty[$ alors $\text{Card\,} \mathcal{C}(x) = \text{Card\,} f^{-1}\left( f(x) \right) = 2$ , si $x\leqslant 0$ ou $x=1$ alors $\text{Card\,} \mathcal{C}(x) = \text{Card\,} f^{-1}\left( f(x) \right) = 1$ .

exo7 212