On supposera connues les relations suivantes : \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.\]
Montrer que l’équation \((E_n): x^n + x^{n-1} + \cdots + x - 1 = 0\) admet une unique racine positive \(x_n\), pour tout entier \(n \geq 1\), qui définit une suite \((x_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) décroissant vers \(\frac{1}{2}\). Établir alors pour \(n\) assez grand la relation : \[(I_n) \quad x_n = \frac{1}{2} + \sum_{p=1}^\infty \frac{1}{2^{p(n+1)+1} p} \binom{p(n+1)}{p-1}.\]
Montrer que la fonction : \[f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \log \left(1 + \frac{1}{n(1+x^2)}\right)\] est définie sur \(\mathbb{R}\) et admet au voisinage de l’origine un développement en série entière que l’on déterminera. Préciser \(f(0)\) et \(f''(0)\).
Déterminer un développement limité à tout ordre en \(\frac{1}{n}\) de : \[u_n = \int_0^1 \frac{\log t}{1 + t^n} dt \quad \text{et} \quad v_n = \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^n}.\]
Étudier la convergence et déterminer la somme des séries :
\(\sum_{n=p}^\infty \frac{1}{C_n^p}\) pour \(p \geq 2\).
\(\sum_{k=1}^\infty k \sum_{n=k}^\infty \frac{a_n}{n(n+1)}\), où \(a_n\) est le terme général d’une série positive convergente.
Déterminer une suite double \((a_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) telle que : \[\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^\infty a_{p,q} \quad \text{et} \quad \sum_{q=0}^\infty \sum_{p=0}^\infty a_{p,q}\] soient définies et aient pour somme respective \(a\) et \(b\).
Établir les relations :
\(\sum_{n \wedge p = 1} \frac{1}{n^2 p^2} = \frac{5}{2}\).
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{1 + x^{2n}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{1 - x^{2n+1}}\) pour \(|x| < 1\).
\(\frac{x}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2^n}}{1 - x^{2^{n+1}}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n x^{2^n}}{1 + x^{2^n}}\) pour \(|x| < 1\).