Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) et \(\lambda > 0\). On dit que \(f\) est une similitude de rapport \(\lambda\) si : \(\forall\ \vec x \in E,\ \|f(\vec x)\| = \lambda\|\vec x\,\|\).
1
Montrer que \(f\) est une similitude de rapport \(\lambda\) si et seulement si : \(\forall\ \vec x,\vec y\in E,\ (f(\vec x)\mid f(\vec y)) = \lambda^2(\vec x\mid\vec y)\).
2
Caractériser les similtudes par leurs matrices dans une base orthonormée.
3
Montrer que \(f\) est une similitude si et seulement si \(f\) est non nulle et conserve l’orthogonalité, c’est à dire : \(\forall\ \vec x,\vec y\in E,\ \vec x\perp\vec y \Rightarrow f(\vec x)\perp f(\vec y)\).