L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

exo7 3739

Soit EE un espace euclidien de dimension nn. Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) et λ>0\lambda > 0. On dit que ff est une similitude de rapport λ\lambda si : ∀ x⃗∈E, ∥f(x⃗)∥=λ∥x⃗ ∥\forall\ \vec x \in E,\ \|f(\vec x)\| = \lambda\|\vec x\,\|.

1

Montrer que ff est une similitude de rapport λ\lambda si et seulement si : ∀ x⃗,y⃗∈E, (f(x⃗)∣f(y⃗))=λ2(x⃗∣y⃗)\forall\ \vec x,\vec y\in E,\ (f(\vec x)\mid f(\vec y)) = \lambda^2(\vec x\mid\vec y).

2

Caractériser les similtudes par leurs matrices dans une base orthonormée.

3

Montrer que ff est une similitude si et seulement si ff est non nulle et conserve l’orthogonalité, c’est à dire : ∀ x⃗,y⃗∈E, x⃗⊥y⃗⇒f(x⃗)⊥f(y⃗)\forall\ \vec x,\vec y\in E,\ \vec x\perp\vec y \Rightarrow f(\vec x)\perp f(\vec y).

Exercice TxO6

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