Rappelons d’abord que pour $x$ un élément d’ordre $n$ , alors $x^q=e \Longrightarrow n | q.$

Si $n$ est pair alors $ord(x^2)=n/2$ : en effet $(x^2)^\frac{n}{2} = x^n=e$ et pour $p \geq 1$ tel que $(x^2)^p = e$ alors $x^{2p}= e$ et $n|2p$ donc $p \geq \frac n2$ . Donc $n/2$ est le plus petit des entiers $q$ (non nul) tel que $x^q=e$ et par conséquent $n/2$ est l’ordre de $x$ .
Si $n$ est impair alors $ord(x)=n$ . Tout d’abord $(x^2)^n=(x^n)^2=e$ et pour $p$ tel que $(x^2)^p=e$ alors $n|2p$ mais $2$ et $n$ sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, $n|p$ et en particulier $p \geq n$ .

exo7 1340