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On note $\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}$ et $Z_i(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta_i(2n)x^n$. En s’inspirant de l’exercice [recurzeta] montrer que $Z_i$ vérifie l’équation différentielle : $2xZ_i'(x) - 2Z_i^2(x) - Z_i(x) = x\zeta_i(2)$.

Déterminer alors deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $T(x) = Z_i(x^2)/x$ soit égal à $\alpha\tan\beta x$ sur $]-1,1[$.