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On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et \(Z_i(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta_i(2n)x^n\). En s’inspirant de l’exercice [recurzeta] montrer que \(Z_i\) vérifie l’équation différentielle : \(2xZ_i'(x) - 2Z_i^2(x) - Z_i(x) = x\zeta_i(2)\).
Déterminer alors deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(T(x) = Z_i(x^2)/x\) soit égal à \(\alpha\tan\beta x\) sur \(]-1,1[\).