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Montrer que la quantité suivante (appelée forme de Killing) est un produit scalaire sur le groupe matriciel $M_n(\R)$. $$<X,Y> = {\rm tr}\ (X^{T}Y).\quad X, Y\in M_n(\R)$$

Montrer que la forme de Killing reste invariante par rapport à l’action de $O(n)$ par conjugaison :

$$<gXg^{-1}, gYg^{-1}>\ =\ <X, Y>,\ \ X,Y\in M_n(\R),\ g\in O(n).$$