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On souhaite calculer $$I = \int_0^{+\infty } x R(x^4)\,dx$$ Montrer que cela peut se faire par la méthode des résidus, en intégrant sur un contour formé du bord du quart de cercle $\{ 0< \arg z<{\pi \over 2}, |z|<a\}$.

Application: calculer $$\int_0^{+\infty } {x\over 1+x^8}\,dx .$$

Plus généralement, montrer que si $n$ et $p$ sont des entiers, et $p\geq 3$, on peut calculer $$I(n,p) = \int_0^{+\infty } x^n R(x^p)\, dx$$ sous une condition sur $n$, $p$ que l’on précisera.

Application: calculer $$I_{p} = \int_0^{+\infty } {x\over 1+x^{2p}} \,dx.$$