Soit \(R\) une fraction rationnelle, ou plus généralement une fonction méromorphe sur \(\C\), sans pôle réel.
1
On souhaite calculer \[I = \int_0^{+\infty } x R(x^4)\,dx\] Montrer que cela peut se faire par la méthode des résidus, en intégrant sur un contour formé du bord du quart de cercle \(\{ 0< \arg z<{\pi \over 2}, |z|<a\}\).
2
Application: calculer \[\int_0^{+\infty } {x\over 1+x^8}\,dx .\]
3
Plus généralement, montrer que si \(n\) et \(p\) sont des entiers, et \(p\geq 3\), on peut calculer \[I(n,p) = \int_0^{+\infty } x^n R(x^p)\, dx\] sous une condition sur \(n\), \(p\) que l’on précisera.
4
Application: calculer \[I_{p} = \int_0^{+\infty } {x\over 1+x^{2p}} \,dx.\]