Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une application \(p \in \mathcal{L} (E)\) est nommée projecteur lorsque \(p^2=p .\)
1
Montrer que si \(p\) est un projecteur \(1-p\) est un projecteur. Montrer que \(\hbox{Im}(p)\oplus \hbox{Ker}(p)=E .\)
2
On suppose que \(\mathbb{K} = \R .\) Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs tels que \(p+q\) soit aussi un projecteur. Montrer que :
3
\(pq=qp=0 .\)
4
\(\hbox{Im}(p+q)=\hbox{Im}(p)+\hbox{Im}(q) .\)
5
\(\hbox{Ker}(p+q)=\hbox{Ker}(p)\cap \hbox{Ker}(q) .\)