exo7 1651

Montrer que si $p$ est un projecteur $1-p$ est un projecteur. Montrer que $\hbox{Im}(p)\oplus \hbox{Ker}(p)=E .$

On suppose que $\mathbb{K} = \R .$ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs tels que $p+q$ soit aussi un projecteur. Montrer que :

$pq=qp=0 .$

$\hbox{Im}(p+q)=\hbox{Im}(p)+\hbox{Im}(q) .$

$\hbox{Ker}(p+q)=\hbox{Ker}(p)\cap \hbox{Ker}(q) .$